映射和函数的区别与联系

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映射和函数的区别与联系如下：

一、区别

1、函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。

2、函数要求每个值域都有相应的定义域与其对应，也就是说，值域这个集合不能有剩余元素，而构成映射的像的集合是可以有剩余。（注意：映射的像的集合与映射的值域是不一定相等的，映射的值域是映射的像的集合的子集）。

3、对于函数来说有先后关系，即定义域根据对应法则产生的值域，而对于映射来说没有先后关系，两个集合同时存在，所以函数值域中的每个数都有定义域中的数和它对应，而映射像中的元素则不一定有原像中的元素与他对应。

二、联系

1、函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系；函数与映射的对应都具有方向性；A中元素具有任意性，B中元素具有唯一性，即A中任意元素B中都有唯一元素与之对应。（多值函数除外，这类函数一般不纳入函数的范畴）。

中文“函数”的含义：

1859年，清代著名数学家（清代数学第一人）李善兰将美国一本代数和微积分教材翻译中文（中国第一本微积分教材），把“function”翻译成“函数”。在中国古代，“函”与“含”通用，都有“包含”的意思。

书中定义为“凡式中含天，为天之函数”，中国古代用天、地、人、物四个字表示四个不同的未知数或未知量，因此，该定义翻译成现代文就是“凡是公式中含有变量x，则该式子称为x的函数”。书中又解释道：“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”。

1. 函数是特殊的映射，映射是函数的推广，有时候二者不加区别。

2. 作为对应方式来讲是一致的，都是“定义域中任取一个元素，值域中存在唯一的一个元素与它对应”，区别主要在于值域元素的类型，函数的值域是数集，数集应该知道吧，集合中的元素都是数，一般是实数。映射的值域就不限于数集了，也就是其中的元素可以不是数。

3. 中学阶段把函数的定义域也限制为数集了，以后会放宽。映射的定义域当然也不限于数集。

举例如：

A={某所中学的全体在校学生}，B={该校所有的班级}

对于A中任何一个元素也就是一个学生，将B中这个学生所在班级和他相对应就构成了一个映射。

如果将集合A,B分别“数字化”为

C={某所中学的全体在校学生学号}，D={该校所有班级编号}（注：比如可以把2008年入学的三班编号为200803}

对于C中任何一个元素也就是一个学号，将D中这个学号的学生所在的班级编号和它对应就构成了一个函数。

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